در واقع پنج مرحله برای رسیدن به تبدیل موجک پیوسته نیاز داریم :

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

1. 1. یک موجک به عنوان موجک مادر انتخاب کرده و آن را با قسمت ابتدایی سیگنال همانند شکل (2-9) مقایسه کنید .

1. 1. مقدار C را که بیانگر میزان شباهت ^[41] موجک با قسمت انتخابی از سیگنال می باشد را حساب کنید . به این نکته توجه کنید که مقادیر بالاتر C بیانگر شباهت بیشتر می باشد . به طور دقیق تر اگر انرژی سیگنال و انرژی موجک برابر یک باشد C می تواند به عنوان ضریب همبستگی تفسیر شود .

توجه : نتیجه به نوع موجکی که به عنوان موجک مادر انتخاب می کنید بستگی دارد .
شکل 2 - 9 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره ی 1 [10]

1. 1. موجک را به سمت راست انتقال می دهیم و مراحل 1 تا 2 را تا زمانی، که کل سیگنال را پوشش دهیم تکرار می کنیم .

شکل 2 - 10 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره 2 [10]

1. 1. موجک مادر را به مقیاس جدید برده و مراحل 1 تا 3 را تکرار می کنیم .

شکل 2 - 11 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره 3 [10]

1. 1. مراحل 1 تا 4 را برای تمامی مقیاس ها تکرار کنید .

بعد از انجام این مراحل شما ضرایب تولید شده حاصل از تبدیل موجک یک سیگنال را دارید . [10]
ﺷﻜﻞ (2-12) ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎي اﻳﺴﺘﺎ و ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎي ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ (2-4 ) الف را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از موجک ﻣﺎدر db8 ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮔﺮدﻳﺪه اﻧﺪ.
ﺧﺎﺻﻴﺖ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﺷﻜﻞ (2-12) ﺑﻪ وﺿﻮح ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ، ﭼﺮا ﻛﻪ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﺑﺎﻻ) رزوﻟﻮﺷﻦ ﻣﻘﻴﺎﺳﻲ ﺑﻬﺘﺮي دارﻳﻢ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ در ﻣﻘﻴﺎس ﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﻧﻤﻮدار ﺑﺎرﻳﻚﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ دﻗﺖ ﺑﺴﻴﺎر ﺑﻬﺘﺮي ﻣﻲ ﺗﻮان ﻣﻘﺪار دﻗﻴﻖ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ را ﺑﻴﺎن ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺧﻮد ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺿﻌﻴﻒ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﺑﺎﻻﺗﺮ داراي رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺧﻮب ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ ﭼﺮا ﻛﻪ در ﻃﻮل ﻣﺤﻮر ﻣﻘﻴﺎس، ﭘﻬﻦ ﺗﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ. [9]
شکل 2 - 12 نمایش سه بعدی تبدیل موجک پیوسته سیگنال های نشان داده شده در شکل 2-1 با بهره گرفتن از موجک مادر 8 db (الف) تبدیل موجک سیگنال ایستا ، (ب) تبدیل موجک سیگنال نا ایستا [4]

10-3-2 رزولوشن در صفحه زمان – فرکانس

در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، ﻧﮕﺎﻫﻲ دﻗﻴﻖﺗﺮ ﺑﻪ ﺧﻮاص ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺧﻮاﻫﻴﻢ اﻧﺪاﺧﺖ. ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ دارﻳﻢ ﻛﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻋﺎﻣﻞ اﺻﻠﻲ روي آوردن از ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻮد. ﺷﻜﻞ(2-13) ﺗﻮﺻﻴﻒﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺻﻔﺤﺎت زﻣﺎن، ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ و زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ را ﺑﺮاي ﺗﺒﺪﻳﻞﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﻫﺮ جعبه ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار در ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺗﻮﺟﻪ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﺎت زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ، ﻫﺮ جعبه ﻳﻚ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻏﻴﺮﺻﻔﺮ دارد ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻘﺪار دﻗﻴﻖ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ در ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻗﺎﺑﻞ داﻧﺴﺘﻦ ﻧﻴﺴﺖ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ، ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎﻃﻲ ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻳﻚ جعبه ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ، ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ (موجک ﻳﺎ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه) ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻣﻲﮔﺮدﻧﺪ. ﺷﻜﻞ (2-13) ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ واﺳﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮدن ﭘﻨﺠﺮه در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، رزوﻟﻮﺷﻦ اﻳﺠﺎد ﺷﺪه در ﻫﻤﻪ ﺟﺎي ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ. ﺣﺎل آنﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻃﻮل و ﻋﺮض جعبه های ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻛﻪ در ﺣﻘﻴﻘﺖ اﻟﻤﺎن ﻫﺎي رزوﻟﻮﺷﻦ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ، ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ اﻣﺎ ﻫﻤﭽﻨﺎن ﻣﺴﺎﺣﺖ آنﻫﺎ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﺪ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﻫﺮ جعبه ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ﻳﻚ ﺑﺨﺶ ﻳﻜﺴﺎن از ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻟﺒﺘﻪ در ﺟﺎﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ، ﺑﻪ زﻣﺎن و ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺳﻬﻢ ﻣﺘﻔﺎوﺗﻲ اﺧﺘﺼﺎص ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ. دﻗﺖ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﺑﺎﻻ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ)، ارﺗﻔﺎع جعبه ها ﻛﻮﺗﺎهﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ و ﻋﺮض جعبه ها ﺑﺰرگ ﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪه رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺿﻌﻴﻒ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻘﺎﺑﻞ، در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﺑﺎﻻ)، ﻋﺮض جعبه ﻫﺎ ﻛﺎﻫﺶ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﺗﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻬﺒﻮد ﻳﺎﺑﺪ و در ﻋﻮض ارﺗﻔﺎع آنﻫﺎ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲ ﻳﺎﺑﺪ ﺗﺎ در ﺟﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻧﻴﺎزي ﺑﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ ﺧﻮب ﻧﺪارﻳﻢ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﺑﺪﺗﺮ ﺷﻮد. ﺷﺎﻳﺎن ذﻛﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ جعبه ها ﺑﻪ ﻧﺎﻣﺴﺎوي ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ ﻣﺮﺑﻮط ﻣﻲ ﺷﻮد و ﺑﺴﺘﮕﻲ ﺑﻪ ﻧﻮع موجک ﻣﺎدر ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ دارد. ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻓﺎرغ از اﻳﻦ ﻛﻪ موجک ﻣﺎدر ﺑﻪ ﻛﺎررﻓﺘﻪ ﭼﻪ ﺑﺎﺷﺪ، ﻛﺮان ﭘﺎﺋﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺖ جعبه ﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﺪدπ / 4 ﻣﺤﺪود ﻣﻲﺷﻮد ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﺮ اﺳﺎس اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ، ﻧﻤﻲ ﺗﻮان ﻋﺮض جعبه ﻫﺎ را ﺗﺎ ﺟﺎي ﻣﻤﻜﻦ ﻛﻢ ﻛﺮد. [5]
شکل 2 - 13 نمایش رزولوشن در صفحات مختلف (الف ) صفحه زمان (ب) صفحه فرکانس (پ) صفحه زمان – فرکانس در تبدیل فوریه زمان – کوتاه (ت) صفحه زمان – فرکانس در تبدیل موجک [4]

4-2 رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک

در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، اﻳﺪه اﺻﻠﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﻗﺎﻟﺐ رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ اي ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮد. قبل از بیان روابط ریاضی مربوط به تبدیل موجک برخی مفاهیم ریاضیاتی که با آن ها در این بخش سر و کار داریم را مورد بررسی قرار می دهیم .
تعریف استقلال خطی
مجموعه بردار های {V₁ … V_m} را مستقل خط می گوییم هر گاه c₁V₁+ …. C_mV_m = 0 آنگاه c₁=c₂=…=c_m
تعریف پایه
مجموعه ای متناهی از بردارها همانند {v₁,…,v_m} را یک پایه فضای برداری V می نامند هر گاه این مجموعه مولد V و مستقل خطی باشند . ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ از ﻓﻀﺎي ﺑﺮداري V ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاي از ﺑﺮدارﻫﺎي ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﻫﺮ ﺑﺮدار v در ﻓﻀﺎي V را ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻳﻚ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺧﻄﻲ از اﻳﻦ ﺑﺮدارﻫﺎي ﭘﺎﻳﻪ ﻧﻮﺷﺖ. [6]
تعریف بعد در فضای برداری
در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻓﻀﺎي ﺑﺮداري ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ ﻳﺎﻓﺖ، اﻣﺎ ﻫﻤﮕﻲ آنﻫﺎ داراي ﺗﻌﺪاد ﻳﻜﺴﺎﻧﻲ ﺑﺮدار ﭘﺎﻳﻪ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﻌﺪاد را ﺑﻌﺪ آن ﻓﻀﺎي ﺑﺮداري ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ.[6]
تعریف بردارهای متعامد ^[42]
فرض کنید V یک فضای حاصل ضرب داخلی باشد . دو بردار ناصفر u , v در V متعامد نامیده می شوند اگر <u,v> = 0 [6]
دومتعامد^[43]
دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﻪ دو ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻛﻪ ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ اﻣﺎ ﻫﺮﻛﺪام ﺑﻪ ﺗﻨﻬﺎﻳﻲ ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻧﻤﻲدﻫﻨﺪ ﺑﺮﻣﻲ ﮔﺮدد. [4]
با توجه به مفاهیم بالا ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻫﺮ ﺑﺮدار دﻟﺨﻮاه در ﻓﻀﺎ ﭼﻨﻴﻦ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد:
(2-9)
ﻛﻪ در آن، bk ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺧﻄﻲ ﺑﻮده و N ﺑﻌﺪ ﻓﻀﺎﺳﺖ. اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﻛﻪ در ﻓﻀﺎي αk ﺑﺮدارﻫﺎي ﭘﺎﻳﻪ ﻓﻀﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ، ﺑﺮداري ﺑﻴﺎن ﺷﺪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻲ ﺑﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﺗﻌﻤﻴﻢ داد ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻛﻪ ﺑﺮدارﻫﺎي ﭘﺎﻳﻪ ﺟﺎي ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ) ﻣﻲدﻫﻨﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ دﻟﺨﻮاه(f(t را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻧﻤﻮد:
(2-10)
ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ دﻳﺪﻳﻢ، ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻪ ﻋﻼوه، اﻳﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﻮده و ﻟﺬا اﻳﻦ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ را ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻲدﻫﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل اوﻟﻴﻪ را از روي ﺗﺒﺪﻳﻞﻳﺎﻓﺘﻪ ﺑﺎزﺳﺎزي ﻧﻤﻮد. ﻓﺮض ﻛﻪ (f(t و(g(t دو ﺗﺎﺑﻊ در ﻓﻀﺎي دوﺑﻌﺪي ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺿﺮب داﺧﻠﻲ اﻳﻦ دو ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد
(2-11)
ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، راﺑﻄﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب داﺧﻠﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ:
= (2-12)
ﻛﻪ در آن :
(2-13)
ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ اراﺋﻪ ﺷﺪه در راﺑﻄﻪ (2-13) ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب داﺧﻠﻲ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه اﺳﺖ، ﻣﻲ ﺗﻮان اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﺑﺮداﺷﺖ ﻛﺮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﺣﻘﻴﻘﺖ اﻧﺪازهﮔﻴﺮي ﺷﺒﺎﻫﺖ ﺑﻴﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ( موجک ها) اﺳﺖ. ﻣﻨﻈﻮر از ﺷﺒﺎﻫﺖ در اﻳﻦ ﺑﺤﺚ، ﺷﺒﺎﻫﺖ ﺳﻨﺠﻲ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﺘﻮاي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﻣﻴﺰان ﻧﺰدﻳﻜﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ موجک در ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻮردﻧﻈﺮ اﺳﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، اﮔﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ، در اﻳﻦ ﺻﻮرت وﻳﻮﻟﺖ ﻣﻘﻴﺎس ﺷﺪه، ﺷﺒﻴﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺿﺮﻳﺒﻲ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﻣﻘﺪاري ﻧﺴﺒﺘﺎً ﺑﺰرگ ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ.
ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ، در ﻫﺮ ﻓﻀﺎ ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ از ﺑﻴﻦ آنﻫﺎ، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ از اﻫﻤﻴﺖ وﻳﮋه اي ﺑﺮﺧﻮردارﻧﺪ ﭼﺮا ﻛﻪ ﺧﻮاص ﺑﺴﻴﺎر ﺧﻮب و ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨﺪه اي ﺑﻪوﻳﮋه در ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺧﻮاﻫﻨﺪ داﺷﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺗﻌﺎﻣﺪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ، ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ در راﺑﻄﻪ (2-14) ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ:
(2-14)